Bonjour,
Pour la santé, si vous êtes salarié, votre employeur s'en chargera, si vous êtes considéré comme "sans emploi" et résident fiscal en Slovaquie, il faudra vous assurer vous même, cela coute environ 50€/mois.
Pour l'habitation, ici ils distinguent clairement l'assurance du batiment et l'assurance des biens, cela ne coûte vraiment pas grand chose par an. Quand vous louez, souvent l'assurance "batiment" est comprise, mais pas l'assurance des biens.
Pour la voiture, c'est la même chose qu'en France (même carte verte), sauf qu'ils n'ont pas de bonus/malus, et c'est beaucoup, beaucoup moins cher.
Assurance expat ou assureur local? Tout dépend de votre projet. Si vous venez travailler/vous installer à long terme: local est mieux, de toutes façons ça simplifiera grandement les choses: Passé 6 mois, vous devez immatriculer et assurer votre voiture ici, en ce qui concerne l'assurance habitation, je me demande si c'est possible de demander à votre assurance française d'assurer un batiment ici.
Concernant l'assurance santé/sociale, vous pouvez prendre une assurance expat, ça coute extrèmement cher, mais vous pourrez aller vous faire soigner en France et cotiser à la retraite pour certaines assurances expat.