If you wish to live in Romania (long term) as a US citizen one has to respect the provisions in Government Emergency Ordinance 194/2002 (republished in 2010).
The following is mentioned with regards to wanting to obtain a long term residence in Romania due to studying in Romania. If you want it to the easy way: just marry your girlfriend ;-)
Please use Google Translate for the moment:
Condiţii speciale de acordare a vizei de lungă şedere
ARTICOLUL 45
Viza de lungă şedere pentru studii
(1) Viza de lungă şedere pentru studii poate fi acordată, la cerere, străinilor care solicită intrarea pe teritoriul României în calitate de student sau care participă la un program de schimb de elevi.
(2) Calitatea de student o au străinii acceptaţi la studii de către o instituţie de învăţământ de stat sau particulară, acreditată potrivit legii, inclusiv pentru participarea la cursuri de doctorat.
(3) Solicitarea trebuie să fie însoţită de următoarele documente:
a) în cazul studenţilor:
(i)
dovada de acceptare la studii eliberată de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, din care să rezulte că va urma o formă de învăţământ de zi;
(ii)
dovada achitării taxei de studii pentru cel puţin un an de studii;
(iii)
dovada mijloacelor de întreţinere, în cuantum de cel puţin salariul minim net pe ţară lunar, pentru întreaga perioadă înscrisă în viză;
(iv)
certificat de cazier judiciar sau alt document cu aceeaşi valoare juridică;
(v)
asigurarea medicală pe perioada valabilităţii vizei;
(vi)
încuviinţarea părinţilor sau a tutorelui cu privire la şederea în scop de studii pe teritoriul României, dacă străinul este minor;
b) în cazul străinilor care participă la un program de schimb de elevi:
(i)
dovada de acceptare la studii eliberată de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, din care să rezulte că va urma o formă de învăţământ de zi;
(ii)
dovada de participare într-un program de schimb de elevi, realizat de o organizaţie constituită în condiţiile legii şi recunoscută pentru acest scop;
(iii)
dovada din partea organizaţiei care realizează schimbul de elevi, din care să rezulte că aceasta va asigura mijloacele de întreţinere şi eventualele costuri privind îndepărtarea;
(iv)
asigurarea medicală pe perioada valabilităţii vizei;
(v)
dovada privind asigurarea cazării la o familie selectată de către organizaţia care realizează schimbul de elevi şi care deţine un spaţiu de locuit considerat normal pentru o familie din România;
(vi)
încuviinţarea părinţilor sau a tutorelui cu privire la şederea în scop de studii pe teritoriul României, dacă străinul este minor.
(4) Străinii care participă la un program de schimb de elevi trebuie să aibă vârsta cuprinsă, de regulă, între 7 şi 19 ani.
(5) Străinii bursieri ai statului român, precum şi cei de origine română nu sunt obligaţi să prezinte documentele prevăzute la alin. (3) lit. a) pct. (iii).
(6) Viza prevăzută la alin. (1) se acordă şi străinilor acceptaţi la studii în baza documentelor internaţionale la care România este parte.